Question

【题目】已知a、b是正实数，那么， 是恒成立的．
（1）由 恒成立，说明 恒成立；
（2）已知a、b、c是正实数，由 恒成立，猜测： 也恒成立；
（3）如图，已知AB是直径，点P是弧上异于点A和点B的一点，PC⊥AB，垂足为C，AC=a，BC=b，由此图说明 恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵（ ）2≥0，

∴a﹣2 +b≥0，

∴a+b≥2 ，

∴ ≥

（2）解： ；

理由：a3+b3+c3﹣3abc

=（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）

= （a+b+c）（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）

= （a+b+c）[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]

∵a、b、c是正实数，

∴a3+b3+c3﹣3abc≥0，

∴a3+b3+c3≥3abc，

同理： 也恒成立；

故答案为：

（3）解：如图，连接OP，

∵AB是直径，

∴∠APB=90°，

又∵PC⊥AB，

∴∠ACP=∠APB=90°，

∴∠A+∠B=∠A+∠APC=90°，

∴∠APC=∠B，

∴Rt△APC∽Rt△PBC，

∴ ，

∴PC2=ACCB=ab，

∴PC= ，

又∵PO= ，

∵PO≥PC，

∴ ．

【解析】（1）由（ ）2≥0，利用完全平方公式，即可证得 恒成立；（2）由a3+b3+c3﹣3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）= （a+b+c）[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]，可证得a3+b3+c3≥3abc，即可得 也恒立；（3）首先证得Rt△APC∽Rt△PBC，由相似三角形的对应边成比例，可求得PC的值，又由OP是半径，可求得OP= ，然后由点到线的距离垂线段最短，即可证得 恒成立．
【考点精析】通过灵活运用圆周角定理和相似三角形的判定与性质，掌握顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方即可以解答此题．