Question

【题目】已知，如图，二次函数y=ax2+2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l： 对称．
（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；
（2）求二次函数解析式；
（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意，得ax2+2ax﹣3a=0（a≠0），

两边都除以a得：

即x2+2x﹣3=0，

解得x1=﹣3，x2=1，

∵B点在A点右侧，

∴A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（1，0），

答：A、B两点坐标分别是（﹣3，0），（1，0）

证明：∵直线l： ，

当x=﹣3时， ，

∴点A在直线l上

（2）解：∵点H、B关于过A点的直线l： 对称，

∴AH=AB=4，

过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，

则 ， ，

∴顶点 ，

代入二次函数解析式，解得 ，

∴二次函数解析式为 ，

答：二次函数解析式为

（3）解：直线AH的解析式为 ，

直线BK的解析式为 ，

由 ，

解得 ，

即 ，

则BK=4，

∵点H、B关于直线AK对称，K（3，2 ），

∴HN+MN的最小值是MB，

过K作KD⊥x轴于D，作点K关于直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，

则QM=MK， ，AE⊥QK，

∴根据两点之间线段最短得出BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，

∵BK∥AH，

∴∠BKQ=∠HEQ=90°，

由勾股定理得QB= = =8，

∴HN+NM+MK的最小值为8，

答：HN+NM+MK和的最小值是8．

【解析】（1）求出方程ax2+2ax﹣3a=0（a≠0），即可得到A点坐标和B点坐标；把A的坐标代入直线l即可判断A是否在直线上；（2）根据点H、B关于过A点的直线l： 对称，得出AH=AB=4，过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，求出AC和HC的长，得出顶点H的坐标，代入二次函数解析式，求出a，即可得到二次函数解析式；（3）解方程组 ，即可求出K的坐标，根据点H、B关于直线AK对称，得出HN+MN的最小值是MB，过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，得到BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，由勾股定理得QB=8，即可得出答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解解二元一次方程组的相关知识，掌握二元一次方程组：①代入消元法；②加减消元法，以及对抛物线与坐标轴的交点的理解，了解一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．