Question

【题目】如图1，放置的一副三角尺，将含45°角的三角尺斜边中点O为旋转中心，逆时针旋转30°得到如图2，连接OB、OD、AD．
（1）求证：△AOB≌△AOD；
（2）试判定四边形ABOD是什么四边形，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：根据题意得：∠BAC=60°，∠ABC=∠EDF=90°，EF=AC，

∵O为AC的中点，

∴OB= AC=OA，OD= EF= AC=OB，OD⊥EF，

∴△AOB是等边三角形，

∴∠AOB=60°，AB=OB=OA，

由旋转的性质得：∠AOE=30°，

∴∠AOD=90°﹣30°=60°，

在△AOB和△AOD中， ，

∴△AOB≌△AOD（SAS）

（2）解：四边形ABOD是菱形；理由如下：

∵△AOB≌△AOD，

∴AB=AD，

∴AB=AD=OB=OD，

∴四边形ABOD是菱形

【解析】（1）根据题意得：∠BAC=60°，∠ABC=∠EDF=90°，EF=AC，由直角三角形斜边上的中线性质得出OB= AC=OA，OD= EF= AC=OB，由等腰三角形的性质得出OD⊥EF，证出△AOB是等边三角形，得出∠AOB=60°，由旋转的性质得：∠AOE=30°，证出∠AOD=60°，由SAS证明△AOB≌△AOD即可；（2）由全等三角形的性质得出AB=AD=OB=OD，即可得出四边形ABOD是菱形．
【考点精析】解答此题的关键在于理解旋转的性质的相关知识，掌握①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了．