Question

【题目】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=150°，点A到BC的距离为1，与AB重合的一条射线AP，从AB开始，以每秒15°的速度绕点A逆时针匀速旋转，到达AC后立即以相同的速度返回AB，到达后立即重复上述旋转过程，设AP与BC边的交点为M，旋转2019秒时，BM= ， CM= ．

Answer 1

【答案】2；2+2
【解析】解：过A作AD⊥BC于D，则AD=1， ∵150=10×15，即AP从AB开始，绕点A逆时针匀速旋转10秒到达AC后再经过10秒返回AB，
而2019=100×20+19=100×20+10+9，
∴当旋转2019秒时，AP从AB绕点A逆时针匀速旋转了9秒，
∴此时CAP=15°×9=135°，
∴∠BAP=150°﹣135°=15°，
∵AB=AC，
∴BD=CD，∠B=∠C= （180°﹣150°）=15°，
∴AM=BM，∠AMD=∠B+∠BAP=30°，
∴BM=AM=2AD=2，MD= ，
∴CD=BD=2+ ，
∴CM=2+2 ，
所以答案是：2，2+2 ．

【考点精析】掌握等腰三角形的性质和旋转的性质是解答本题的根本，需要知道等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了．