Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若EB= ，且sin∠CFD= ，求⊙O的半径与线段AE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结OD，如图，

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACD，

∵OC=OD，

∴∠ODC=∠OCD，

∴∠B=∠ODC，

∴OD∥AB，

∵DE⊥AB，

∴OD⊥EF，

∴EF是⊙O的切线

（2）解：在Rt△ODF，sin∠OFD= = ，

设OD=3x，则OF=5x，

∴AB=AC=6x，AF=8x，

在Rt△AEF中，∵sin∠AFE= = ，

∴AE= 8x= x，

∵BE=AB﹣AE=6x﹣ x= x，

∴ x= ，解得x= ，

∴AE= =6，

OD=3 = ，

即⊙O的半径长为 ．

【解析】（1）连结OD，如图，由AB=AC得到∠B=∠ACD，由OC=OD得到∠ODC=∠OCD，则∠B=∠ODC，于是可判断OD∥AB，然后利用DE⊥AB得到OD⊥EF，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）在Rt△ODF利用正弦的定义得到sin∠OFD= = ，则可设OD=3x，OF=5x，所以AB=AC=6x，AF=8x，在Rt△AEF中由于sin∠AFE= = ，可得到AE= x，接着表示出BE得到 x= ，解得x= ，于是可得到AE和OD的长．
【考点精析】掌握切线的判定定理是解答本题的根本，需要知道切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．