Question

【题目】如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论:①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④．其中所有正确结论的序号为 ( )

A.①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④

Answer 1

【答案】D．

【解析】

试题解析：连接OB，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=×120°=60°，

∴OB=OC，∠ABC=90°-∠BAD=30°，

∵OP=OC，

∴OB=OC=OP，

∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，

∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；

故①正确；

∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，

∴∠APC+∠DCP=150°，

∵∠APO+∠DCO=30°，

∴∠OPC+∠OCP=120°，

∴∠POC=180°-（∠OPC+∠OCP）=60°，

∵OP=OC，

∴△OPC是等边三角形；

故②正确；

在AC上截取AE=PA，

∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，

∴△APE是等边三角形，

∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，

∴∠APO+∠OPE=60°，

∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，

∴∠APO=∠CPE，

∵OP=CP，

在△OPA和△CPE中，

∴△OPA≌△CPE（SAS），

∴AO=CE，

∴AC=AE+CE=AO+AP；

故③正确；

过点C作CH⊥AB于H，

∵∠PAC=∠DAC=60°，AD⊥BC，

∴CH=CD，

∴S△ABC=ABCH，

S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC=APCH+OACD=APCH+OACH=CH（AP+OA）=CH AC，

∴S△ABC=S四边形AOCP；

故④正确．

故选D．