Question

【题目】如图，线段AB=24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，运动时间为t秒(t>0)，点M为AP的中点.

（1）当点P在线段AB上运动时.当t为多少时，AM=6.

（2）当点P在AB延长线上运动时，点N为BP的中点，求出线段MN的长度.

（3）在P点的运动过程中，点N为BP的中点，是否存在这样的t的值，使M、N、B三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点，若有，请求出t的值；若没有，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）t=6；（2）12；（3）当t=18时，M是线段AP的中点；当t=36时，M为BN的中点，理由见解析．

【解析】

（1）根据AM=AP即可求解；

（2）由M是线段AP的中点，可求PM=AP=t，由N是线段BP的中点，可求PN=BP=t-12，把二者相加即可求出MN的值；

（3）分N为BP的中点，B为MN的中点，M为BN的中点三种情况讨论求解．

解：（1）∵M是线段AP的中点，

∴AM=AP=t，

∵AM=6，

∴t=6；

（2）点P在AB延长线上运动时，

∵M是线段AP的中点，

∴PM=AP=t，

∵N是线段BP的中点，

∴PN=BP=（2t-24）=t-12．

∴MN=t-（t-12）=12．

（3）当0＜t≤12，

∵N为BP的中点，

∴此时不符合题意；

当12＜t≤48，B为MN的中点时，

∵N为BP的中点时，

∴BN=PN=PB=t-12，

∵M是线段AP的中点，

∴AM=PM=AP=t，

∴BM=24-t，

∴24-t=t-12，

∴t=18；

当t＞48，M为BN的中点时，

由题意得：

BN=NP=t-12，AM=PM=t，

∴BM=t-24，MN=t-(t-12)=12,

∴t-24=12,

∴t=36.

∴当t=18时，M是线段AP的中点；当t=36时，M为BN的中点．