Question

【题目】如图，在中，，点M是AC的中点，以AB为直径作分别交于点．

求证：；

填空：

若，当时，______；

连接，当的度数为______时，四边形ODME是菱形．

Answer 1

【答案】证明见解析；2；．

【解析】分析：（1）先证明∠A=∠ABM，再证明∠MDE=∠MBA，∠MED=∠A即可解决问题．

（2）①由DE∥AB，得=即可解决问题．

②当∠A=60°时，四边形ODME是菱形，只要证明△ODE，△DEM都是等边三角形即可．

详解：（1）证明：∵∠ABC=90°，AM=MC，∴BM=AM=MC，∴∠A=∠ABM．∵四边形ABED是圆内接四边形，∴∠ADE+∠ABE=180°，又∠ADE+∠MDE=180°，∴∠MDE=∠MBA，同理证明：∠MED=∠A，∴∠MDE=∠MED，∴MD=ME．

（2）①由（1）可知，∠A=∠MDE，∴DE∥AB，∴=．∵AD=2DM，∴DM：MA=1：3，∴DE=AB=×6=2．

故答案为：2．

②当∠A=60°时，四边形ODME是菱形．理由如下：

连接OD、OE．∵OA=OD，∠A=60°，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD=60°．∵DE∥AB，∴∠ODE=∠AOD=60°，∠MDE=∠MED=∠A=60°，∴△ODE，△DEM都是等边三角形，∴OD=OE=EM=DM，∴四边形OEMD是菱形．

故答案为：60°．