Question

【题目】已知线段AB=12，CD=6，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧）．

（1）当D点与B点重合时，AC=_________；

（2）点P是线段AB延长线上任意一点，在（1）的条件下，求PA+PB–2PC的值；

（3）M、N分别是AC、BD的中点，当BC=4时，求MN的长．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）PA+PB–2PC=0；（3）MN=9．

【解析】分析：（1）根据题意即可得到结论；（2）由（1）得AC=AB，CD=AB，根据线段的和差即可得到结论；（3）需要分类讨论：①如图1，当点C在点B的右侧时，根据“M、N分别为线段AC、BD的中点”，先计算出AM、DN的长度，然后计算MN=AD-AM-DN；②如图2，当点C位于点B的左侧时，利用线段间的和差关系求得MN的长度．

本题解析：

（1）当D点与B点重合时，AC=AB﹣CD=6；

故答案为：6；

（2）由（1）得AC=AB，

∴CD=AB，

∵点P是线段AB延长线上任意一点，

∴PA+PB=AB+PB+PB，PC=CD+PB=AB+PB，

∴PA+PB﹣2PC=AB+PB+PB﹣2（AB+PB）=0；

（3）如图1，∵M、N分别为线段AC、BD的中点，

∴AM=AC=（AB+BC）=8，

DN=BD=（CD+BC）=5，

∴MN=AD﹣AM﹣DN=9；

如图2，∵M、N分别为线段AC、BD的中点，

∴AM=AC=（AB﹣BC）=4，

DN=BD=（CD﹣BC）=1，

∴MN=AD﹣AM﹣DN=12+6﹣4﹣4﹣1=9．