Question

【题目】已知：如图，点C在线段AB上，以AC和BC为边在AB的同侧作正三角形△ACM和△BCN，连结AN、BM，分别交CM、CN于点P、Q．求证：PQ∥AB．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】试题分析：首先证明△ACN≌△MCB可得∠ANC=∠MBC，再证明△PCN≌△QCB可得PC=QC，再有∠MCN=60°可得△PCQ是等边三角形，进而得到∠PQC=60°，可证明PQ∥AB．

试题解析：∵△ACM和△BCN都是正三角形，

∴∠ACM=∠BCN=60°，AC=CM，BC=CN.

∵点C在线段AB上，

∴∠ACM=∠BCN=∠MCN=60°.

∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠MCN=120°.

即∠NCA=∠BCM=120°.

∵在△ACN和△MCB中，

，

∴△ACN≌△MCB(SAS)，

∴∠ANC=∠MBC，

∵在△PCN和△QCB中，

，

∴△PCN≌△QCB(AAS)，

∴PC=QC，

∵∠PCQ=60°，

∴△PCQ是等边三角形，

∴∠PQC=60°，

∴∠PQC=∠QCB，

∴PQ∥AB.