Question

【题目】如图，已知AB为⊙O直径，D是 的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线交AD的延长线于F．

（1）求证：直线DE与⊙O相切；
（2）已知DG⊥AB且DE=4，⊙O的半径为5，求tan∠F的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，BC，

∵D是弧BC的中点，

∴OD垂直平分BC，

∵AB为⊙O的直径，

∴AC⊥BC，

∴OD∥AE．

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∵OD为⊙O的半径，

∴DE是⊙O的切线；

（2）解：∵D是弧BC的中点，

∴ = ，

∴∠EAD=∠BAD，

∵DE⊥AC，DG⊥AB且DE=4，

∴DE=DG=4，

∵DO=5，

∴GO=3，

∴AG=8，

∴tan∠ADG= =2，

∵BF是⊙O的切线，

∴∠ABF=90°，

∴DG∥BF，

∴tan∠F=tan∠ADG=2．

【解析】（1）连接BC、OD，由D是弧BC的中点，由垂径定理可得OD⊥BC；再直径所对的圆周角为直角得到BC⊥AC，再证得OD⊥DE，即可得到DE是⊙O的切线；
（2）直接利用勾股定理得出GO的长，再利用切线判定得到BF是⊙O的切线得到DG∥BF，再用锐角三角函数关系得出tan∠F的值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解垂径定理的相关知识，掌握垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，以及对解直角三角形的理解，了解解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)．