Question

【题目】已知关于x的方程x2﹣2（k﹣3）x+k2﹣4k﹣1=0的两实数根之和不小于﹣6
（1）求k的取值范围；
（2）若以方程x2﹣2（k﹣3）x+k2﹣4k﹣1=0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y= 的图象上，求满足条件的m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得△=[﹣2（k﹣3）]2﹣4×（k2﹣4k﹣1）≥0

化简得﹣2k+10≥0，解得k≤5，

∵关于x的方程x2﹣2（k﹣3）x+k2﹣4k﹣1=0的两实数根之和不小于﹣6，

∴2（k﹣3）≥﹣6，

解得：k≥0，

即k的取值范围是0≤k≤5

（2）解：设方程x2﹣2（k﹣3）x+k2﹣4k﹣1=0的两个根为x1，x2，

根据题意得m=x1x2，

又∵由一元二次方程根与系数的关系得x1x2=k2﹣4k﹣1，

那么m=k2﹣4k﹣1=（k﹣2）2﹣5，所以，当k=2时m取得最小值﹣5，

∵由（1）知：0≤k≤5，

∴当k=0时，m=（0﹣2）2﹣5=﹣1，当k=5时，m=（5﹣2）2﹣5=4，

∴m的取值范围是﹣5≤m≤4，

∵反比例函数y= ，

∴m≠0，

综合上述，m的取值范围为﹣5≤m≤4且m≠0

【解析】（1）若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．（2）写出两根之积，两根之积等于m，进而求出m的最小值，再根据k的范围即可求出答案．
【考点精析】本题主要考查了根与系数的关系的相关知识点，需要掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商才能正确解答此题．