Question

【题目】如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，联结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．

（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，将△ABD绕A点逆时针旋转90°，所得到的三角形为 ，线段CF、BD所在直线的位置关系为 ，线段CF、BD的数量关系为 ；

②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；

（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①△ACF，垂直，相等；②仍成立，理由参见解析；（2）当∠ACB=45°时，CF⊥BD．理由参见解析.

【解析】试题分析：解题的关键是过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，构造全等三角形.（1）①当点D在线段BC上时，根据等腰直角三角形的性质以及旋转的性质，即可得出CF=BD，BD⊥CF；②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD，∠ACF=∠ABD，结合∠BAC=90°，AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；

（2）当∠ACB=45°时，过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，所以AC=AG，由（1）①中的方法可得CF⊥BD．

解：（1）①如图2所示，将△ABD绕A点逆时针旋转90°，所得到△ACF，则

由旋转的性质可得：∠ACF=∠B，CF=BD，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠B=∠ACB=45°=∠ACF，

∴∠BCF=90°，即BD⊥CF；

故答案为：△ACF，垂直，相等；

②如图3所示，当点D在BC的延长线上时，①中的结论仍成立．

证明：由正方形ADEF得，AD=AF，∠DAF=90°．

∵∠BAC=90°

∴∠DAF=∠BAC，

∴∠DAB=∠FAC，

又∵AB=AC，

∴△DAB≌△FAC（SAS），

∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=45°，

∴∠ACF=45°，

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，即 CF⊥BD；

（2）如图4所示，当∠ACB=45°时，CF⊥BD．

理由：过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G，则∠GAC=90°，

∵∠ACB=45°，∠AGC=90°﹣∠ACB=45°，

∴∠ACB=∠AGC，

∴AC=AG，

又∵∠DAG=∠FAC（同角的余角相等），AD=AF，

∴△GAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF=∠AGC=45°，

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即CF⊥BC．