Question

【题目】已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E．F．G．H，顺次连接EF．FG．GH．HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．

（1）四边形EFGH的形状是 ，证明你的结论．

（2）当四边形ABCD的对角线满足 条件时，四边形EFGH是矩形；

（3）结合问题（2），请做出图形并且证明

Answer 1

【答案】(1)平行四边形，证明见解析；(2)互相垂直；(3)见解析；

【解析】

(1)先观察四边形EFGH的形状，利用中位线，发现可以证明四边形有一组对边平行且相等，即可得到答案；

(2)考虑平行四边形变到矩形的条件，即可得到答案；

(3)利用等量关系由AC⊥BD证EH⊥HG即可得到答案．

解：(1)四边形EFGH的形状是平行四边形，理由如下：

如图，连接BD，

∵E、F是AB、AD的中点，

∴EH∥BD，，

同理可得：FG∥BD，，

∴EF∥FG，（等量替换），

∴四边形EFGH的形状是平行四边形（由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.

(2)当四边形ABCD的对角线相互垂直时，四边形EFGH是矩形；

(3)证明(2)，理由如下，作图如下：

如图，连接AC、BD，

∵四边形ABCD四条边上的中点分别为E．F．G．H，

∴EH∥BD，HG∥AC，

又∵四边形ABCD的对角线相互垂直，即AC⊥BD，

∴EH⊥HG，

又∵四边形EFGH的形状是平行四边形，

∴四边形EFGH的形状是矩形（有个一角是直角的平行四边形是矩形）．