Question

【题目】（1）补充完整：

如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为DC、BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连结EF，试说明DE+BF=EF．

解：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合．由旋转可得AB=AD，GB=ED，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°．

∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°．

∴点G、B、F在同一条直线上．

∵∠EAF=45°，

∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°

∵∠1=∠2，

∴∠1+∠3=45°．

∴∠GAF=∠ ．

又∵AG=AE，AF=AF．

∴△GAF≌ ．

∵ =EF．

∴DE+BF=BG+BF=GF=EF．

（2）类比引申：

如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系 时，有EF=BE+DF．

（3）联想拓展

如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，试猜想BD、DE、EC满足的等量关系，并写出推理过程．

Answer 1

【答案】(1) EAF，△EAF，GF；（2）∠B+∠D=180°；（3）BD2+CE2=DE2.

【解析】

（1）把△AEE绕点A顺时针旋转90°至△ABG，可使AB与AD重合，证出△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；

（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFE≌△AFG，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；

（3）把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，证明△AFE≌△AFG（SAS），则EF=FG，∠C=∠ABF=45°，△BDF是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断．

（1）将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合．由旋转可得AB=ADMBGD，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°．

∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°．

∴点G、B、F在同一条直线上．

∵∠EAF=45°，

∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45，

∵∠1=∠2，

∴∠1+∠3=45°．

∴∠GAF=∠EAF．

又∵AG=AE，AF=AF．

∴△GAF≌△EAF．

∵GF=EF．

∴DE+BF=BG+BF=GF=EF，

故答案为EAF，△EAF，GF

（2）∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF；

∵AB=AD，

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图2，

∴∠BAE=∠DAG，

∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°，

∴∠EAF=∠FAG，

∵∠ADC+∠B=180°，

∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，

在△AFE和△AFG中，

∴△AFE≌△AFG（SAS），

∴EF=FG，

即：EF=BE+DF，

故答案为：∠B+∠ADC=180°；

（3）BD2+CE2=DE2．

理由是：把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，则∠FAB=∠CAE．

∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，

∴∠BAD+∠CAE=45°，

又∵∠FAB=∠CAE，

∴∠FAD=∠DAE=45°，

则在△ADF和△ADE中，

∴△ADF≌△ADE，

∴DF=DE，∠C=∠ABF=45°，

∴∠BDF=90°，

∴△BDF是直角三角形，

∴BD2+BF2=DF2，

∴BD2+CE2=DE2．