Question

【题目】已知△ABC中，D为AB边上任意一点，DF∥AC交BC于F，AE∥BC，∠CDE=∠ABC=∠ACB=α．
（1）如图1，当α=60°时，求证：△DCE是等边三角形；

（2）如图2，当α=45°时，求证：① = ；②CE⊥DE．

（3）如图3，当α为任意锐角时，请直接写出线段CE与DE的数量关系是： = ．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图1中，

∵∠ABC=∠ACB=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴BC=BA，

∵DF∥AC，

∴∠BFD=∠BCA=60°，∠BDF=∠BAC=60°，

∴△BDF是等边三角形，

∴BF=BD，

∴CF=AD，∠CFD=120°，

∵AE∥BC，

∴∠B+∠DAE=180°，

∴∠DAE=∠CFD=120°，

∵∠CDA=∠B+∠BCD=∠CDE+∠ADE，

∵∠CDE=∠B=60°，

∴∠FCD=∠ADE，

∴△CFD≌△DAE，

∴DC=DE，∵∠CDE=60°，

∴△CDE是等边三角形

（2）

证明：①如图2中，作FG⊥AC于G．

∵∠B=∠ACB=45°，

∴∠BAC=90°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∵DF∥AC，

∴∠BDF=∠BAC=90°，

∴∠BFD=45°，∠DFC=135°，

∵AE∥BC，

∴∠BAE+∠B=180°，

∴∠DFC=∠DAE=135°，

∵∠CDA=∠B+∠BCD=∠CDE+∠ADE，

∵∠CDE=∠B=45°，

∴∠FCD=∠ADE，

∴△CFD∽△DAE，

∴ = ，

∵四边形ADFG是矩形，FC= FG，

∴FG=AD，CF= AD，

∴ = ，

②作CE′⊥DE于E′

∵∠CDE=45°，

∴DE′=CDcos45°= CD，

∵DE= CD，

∴点E与点E′重合，

∴CE⊥DE

（3）1
【解析】（3）解：如图3中，设AC与DE交于点O．

∵AE∥BC，
∴∠EAO=∠ACB，
∵∠CDE=∠ACB，
∴∠CDO=∠OAE，∵∠COD=∠EOA，
∴△COD∽△EOA，
∴ = ，
∴ = ，∵∠COE=∠DOA，
∴△COE∽△DOA，
∴∠CEO=∠DAO．
∵∠CED+∠CDE+∠DCE=180°，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∵∠CDE=∠B=∠ACB，
∴∠EDC=∠ECD，
∴EC=ED，
∴ =1．
故答案为1．
（1）想办法证明△CFD≌△DAE即可解决问题．（2）①如图2中，作FG⊥AC于G．只要证明△CFD∽△DAE，推出 = ，再证明CF= AD即可．②作CE′⊥DE于E′，只要证明点E与点E′重合，即可推出CE⊥DE．（3）想办法证明EC=ED即可解决问题．