Question

【题目】在中，以为斜边，作直角，使点落在内， ．

（1）如图1，若， ， ，点分别为、边的中点，连接，求线段的长；

（2）如图2，若，把绕点逆时针旋转一定角度，得到，连接并延长交于点，求证： ；

（3）如图3，若，过点的直线交于点，交于点， ，且，请直接写出线段之间的关系（不需要证明）．

Answer 1

【答案】（1）PM=7；（2）证明见解析；（3）BP=CP

【解析】试题分析：（1）根据直角三角形30度角性质求出AB，再根据三角形中位线定理即可求出PM．

（2）如图2中，在ED上截取EQ=DP，连接CQ．首先证明△EQC≌△DPB，推出QC=PB，再证明QC=PC即可解决问题．

（3）结论：2AD2=FB2+CF2．如图3中，连接AF交BD于N．由△AND∽△BNF，推出，推出，又∠ANB=∠DNF，推出△ANB∽△DNF，从∠DFN=∠ABD=45°，在RtABF中利用勾股定理即可证明．

试题解析：(1)如图1中，

∵∠ADB=90°，∠DBA=60°，AD=，

∴∠BAD=30°，

∴AB=2BD，设BD=a，则AB=2a，

∵AB2=BD2+AD2，

∴(2a)2=a2+()2，

∴a=7，

∴AB=AC=14，

∵AM=MB，PB=PC，

∴PM=AC=7.

(2)证明：如图2中，在ED上截取EQ=DP，连接CQ.

∵AD=AE，

∴∠1=∠2，

∵∠ADB=∠AEC=90°，

∴∠1+∠3=90°,∠2+∠4=90°，

∴∠3=∠4，

∵BD=EC，

∴△EQC≌△DPB，

∴CQ=BP，∠QCE=∠DBP，

∵∠CQP=∠3+∠QCE，∠CPQ=∠4+∠DBP，

∴∠CQP=∠CPQ，

∴CQ=PC，

∴PB=PC.

(3)结论：2AD2=FB2+CF2.

理由：如图3中，连接AF交BD于N.

∵∠ADB=90°，DA=DB，

∴∠DBA=∠DAB=45°，AB=AD，

∵∠AND=∠BNF,∠ADN=∠BFN=90°，

∴△AND∽△BNF，

∴，

∴，

∵∠ANB=∠DNF，

∴△ANB∽△DNF，

∴∠DFN=∠ABD=45°，

∵FE⊥AC，AE=EC，

∴FA=FC，∠AFE=∠CFE=45°，

∴∠AFC=∠AFB=90°，

∴AB2=BF2+AF2，

∴2AD2=BF2+CF2.