Question

【题目】如图，在ABCD中，AE⊥BC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：∵CF=BE，

∴CF+EC=BE+EC．

即 EF=BC．

∵在ABCD中，AD∥BC且AD=BC，

∴AD∥EF且AD=EF．

∴四边形AEFD是平行四边形．

∵AE⊥BC，

∴∠AEF=90°．

∴四边形AEFD是矩形

（2）解：∵四边形AEFD是矩形，DE=8，

∴AF=DE=8．

∵AB=6，BF=10，

∴AB2+AF2=62+82=100=BF2．

∴∠BAF=90°．

∵AE⊥BF，

∴△ABF的面积= ABAF= BFAE．

∴AE= = = ．

【解析】（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF=90°即可．（2）证明△ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平行四边形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．