Question

【题目】我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？
（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，若∠1+∠2=230°，则剪掉的∠C=；
（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请直接写出答案 ．
（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由）

Answer 1

【答案】
（1）解：∠DBC+∠ECB

=180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB

=360°﹣（∠ABC+∠ACB）

=360°﹣（180°﹣∠A）

=180°+∠A；

（2）50°
（3）∠P=90°﹣ ∠A
（4）解：延长BA、CD于Q，

则∠P=90°﹣ ∠Q，

∴∠Q=180°﹣2∠P，

∴∠BAD+∠CDA=180°+∠Q，

=180°+180°﹣2∠P，

=360°﹣2∠P．

【解析】（2）∵∠1+∠2=∠180°+∠C， ∴130°+∠2=180°+∠C，
∴∠C=50°；
3）∠DBC+∠ECB=180°+∠A，
∵BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，
∴∠PBC+∠PCB= （∠DBC+∠ECB）= （180°+∠A），
在△PBC中，∠P=180°﹣ （180°+∠A）=90°﹣ ∠A；
即∠P=90°﹣ ∠A；
所以答案是：50°，∠P=90°﹣ ∠A；
【考点精析】解答此题的关键在于理解三角形的内角和外角的相关知识，掌握三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，以及对三角形的外角的理解，了解三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．