Question

【题目】如图1，四边形OABC中，OA=a，OC=5，BC=3,∠AOC=∠BCO=90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处（如图1）．

图1 图2 图3

（1）若θ=45°，四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠后，点B落在点四边形OABC的边AB上 (如图2) ，求a的值.

（2）若折叠后点D恰为AB的中点（如图3），求θ的值；

Answer 1

【答案】（1）8；（2）30°.

【解析】试题分析：（1）如图1，运用翻折变换的性质得到OE=OC=5，DE=BC=3；证明AE=DE，问题即可解决．

（2）如图2，作辅助线，首先证明DM=DN，进而证明∠AOD=∠DOM=∠MOC=θ，问题即可解决．

试题解析：（1）如图1，由题意得：

l⊥AB，OE=OC=5，DE=BC=3；

∠OED=∠C=90°；

∵∠AOF=45°，l⊥AB，

∴∠A=45°，∠ADE=90°-45°=45°，

∴∠A=∠ADE，

∴AE=DE=3，

∴OA=5+3=8，

即a的值为8．

（2）如图2，连接MD并延长，交OA的延长线于点N；

∵BM∥AN，

∴△BMD∽△AND，

∴，而BD=AD，

∴MD=ND；

由题意得：∠ODM=∠C=90°，∠MOD=∠MOC=θ；

∴OD是线段MN的垂直平分线，

∴OM=ON，

∴OD平分∠MON，

∴∠AOD=∠DOM=∠MOC=θ，

∵∠AOC=90°，

∴θ=30°．