【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．

①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；

②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．

参考答案：

【答案】（1）y=x2+x；（2）①P点坐标为P1（，-）或P2（，﹣）或P3（，﹣），②D（，﹣）．

【解析】试题分析：（1）首先解方程得出A，B两点的坐标，进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）①首先求出AB的直线解析式，以及BO解析式，再利用等腰三角形的性质得出当OC=OP时，当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，当OC=PC时分别求出x的值即可；
②利用S△BOD=S△ODQ+S△BDQ得出关于x的二次函数，进而得出最值即可．

试题解析：解（1）解方程x2﹣2x﹣3=0，

得 x1=3，x2=﹣1．

∵m＜n，

∴m=﹣1，n=3

∴A（﹣1，﹣1），B（3，﹣3）．

∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax2+bx（a≠0）．

∴，

解得： ，

∴抛物线的解析式为y=x2+x ．

（2）①设直线AB的解析式为y=kx+b．

∴；解得： ，

∴直线AB的解析式为y=x+．

∴C点坐标为（0，-）．

∵直线OB过点O（0，0），B（3，﹣3），

∴直线OB的解析式为y=﹣x．

∵△OPC为等腰三角形，

∴OC=OP或OP=PC或OC=PC．

设P（x，﹣x），

（i）当OC=OP时，x2+（-x）2=．

解得x1=，x2=-，（舍去）．

∴P1（，-）．

（ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，

∴P2（，﹣）．

（iii）当OC=PC时，由x2+（-x+）2=，

解得x1=，x2=0（舍去）．

∴P3（，﹣）．

∴P点坐标为P1（，-）或P2（，﹣）或P3（，﹣）．

②过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH⊥x轴，垂足为H．

设Q（x，﹣x），D（x，-x2+x）．

S△BOD=S△ODQ+S△BDQ=DQOG+DQGH，

=DQ（OG+GH），

= [x+(+ )]×3，

=-（x-）2+，

∵0＜x＜3，

∴当x=时，S取得最大值为，此时D（，﹣）．

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