Question

【题目】如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点D为三角形内一点，且∠ACD=∠DAB=∠DBC．
（1）求∠CDB的度数；
（2）求证：△DCA∽△DAB；
（3）若CD的长为1，求AB的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△ABC为等腰直角三角形，

∴∠CAB=45°．

又∵∠ACD=∠DAB，

∴∠ACD+∠CAD=∠DAB+∠CAD=∠CAB=45°，

∴∠CDA=135°

同理可得∠ADB=135°

∴∠CDB=360°﹣∠CDA﹣∠ADB=360°﹣135°﹣135°=90°

（2）证明：∵∠CDA=∠ADB，∠ACD=∠DAB，

∴△DCA∽△DAB

（3）解：∵△DCA∽△DAB，

∴ = = = ，

又∵CD=1，

∴AD= ，DB=2．

又∵∠CDB=90°，

∴BC= = = ，

在Rt△ABC中，∵AC=BC= ，

∴AB= = ．

【解析】（1）只要证明∠CDA=135°，∠ADB=135°即可解决问题．（2）根据两角对应相等两三角形相似即可判定．（3）由△DCA∽△DAB，推出 = = = ，又CD=1，推出AD= ，DB=2．根据BC= ，求出BC，再在Rt△ABC中，求出AB即可解决问题．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用等腰直角三角形和相似三角形的判定与性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．