Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A(4,4).

（1）点B坐标为

（2）如图2，若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰Rt△ACD,∠ACD=90,连OD,求∠AOD的度数；

（3）如图3，过点A作y轴的垂线交y轴于点E,F为x轴负半轴上一点，点G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH,过点A作x轴垂线交EH于点M,连FM,等式=1是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（8，0）；（2）90°；（3）=1成立，理由详见解析.

【解析】

（1）因为△AOB为等腰直角三角形，A（4，4），作AE⊥OB于E，则B点坐标可求；（2）作AE⊥OB于E，DF⊥OB于F，求证△DFC≌△CEA，再根据等量变换，证明△AOB为等腰直角三角形，则∠AOD的度数可求；（3）等式成立．在AM上截取AN=OF，连EN，易证△EAN≌△EOF，再根据角与角之间的关系，证明△NEM≌△FEM，则有AM-MF=OF，即可求证等式成立．

（1）作AE⊥OB于E，

∵A（4，4），

∴OE=4，

∵△AOB为等腰直角三角形，且AE⊥OB，

∴OE=EB=4，

∴OB=8，

∴B（8，0）；

故答案为：（8，0）；

（2）作AE⊥OB于E，DF⊥OB于F，

∵△ACD为等腰直角三角形，

∴AC=DC，∠ACD=90°

即∠ACF+∠DCF=90°，

∵∠FDC+∠DCF=90°，

∴∠ACF=∠FDC，

又∵∠DFC=∠AEC=90°，

∴△DFC≌△CEA，

∴EC=DF，FC=AE，

∵A（4，4），

∴AE=OE=4，

∴FC=OE，

即OF+EF=CE+EF，

∴OF=CE，

∴OF=DF，

∴∠DOF=45°

∵△AOB为等腰直角三角形，

∴∠AOB=45°，

∴∠AOD=∠AOB+∠DOF=90°；

（3）成立，理由如下：

在AM上截取AN=OF，连EN．

∵A（4，4），

∴AE=OE=4，

又∵∠EAN=∠EOF=90°，AN=OF，

∴△EAN≌△EOF(SAS)

∴∠OEF=∠AEN，EF=EN，

又∵△EGH为等腰直角三角形，

∴∠GEH=45°，

即∠OEF+∠OEM=45°，

∴∠AEN+∠OEM=45°

又∵∠AEO=90°，

∴∠NEM=45°=∠FEM，

又∵EM=EM，

∴△NEM≌△FEM(SAS)，

∴MN=MF，

∴AM－MF=AM－MN=AN，

∴AM－MF=OF，

即=1.