Question

【题目】如图，△中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数是（ ）

①CP平分∠ACF；　　　　　　　　　 ②∠ABC+2∠APC=180°；

③∠ACB=2∠APB；　　　　　　　　　④若PM⊥BE，PN⊥BC，则AM+CN=AC；

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

①作PD⊥AC于D．由角平分线的性质得出PM=PN，PM=PD，得出PM=PN=PD，即可得出①正确；

②首先证出∠ABC+∠MPN=180°，证明Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），得出∠APM=∠APD，同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），得出∠CPD=∠CPN，即可得出②正确；

③由角平分线和三角形的外角性质得出∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠PAM=∠ABC+∠APB，得出∠ACB=2∠APB，③正确；

④由全等三角形的性质得出AD=AM，CD=CN，即可得出④正确；即可得出答案．

解：①作PD⊥AC于D．

∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，

∴PM=PN，PM=PD，

∴PM=PN=PD，

∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；

②∵PM⊥AB，PN⊥BC，

∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°，

∴∠ABC+∠MPN=180°，

在Rt△PAM和Rt△PAD中，

，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），

∴∠APM=∠APD，

同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），

∴∠CPD=∠CPN，

∴∠MPN=2∠APC，

∴∠ABC+2∠APC=180°，②正确；

③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，

∴∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠PAM=∠ABC+∠APB，

∴∠ACB=2∠APB，③正确；

④∵Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），

∴AD=AM，

同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），

∴CD=CN，

∴AM+CN=AD+CD=AC，④正确；

故选：D．