Question

【题目】已知，如图1，O是坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，AB⊥y轴于点A，AB=2，AO=4，OC=5，点D是线段AO上一动点，连接CD、BD．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）如图2，抛物线的对称轴分别交BD、CD于点E、F，当△DEF为等腰三角形时，求出点D的坐标；

（3）当∠BDC的度数最大时，请直接写出OD的长．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+4；（2）当△DEF为等腰三角形时，点D的坐标为（0，）或（0，）或（0，12﹣2）；（3）

【解析】

（1）先确定出点A，B，C的坐标，进而用待定系数法即可得出结论；

（2）先判断出要△DEF是等腰三角形，即：△BDH是等腰三角形，设出点D坐标，进而表示出BD，DH，BH，分三种情况建立方程求解即可得出结论；

（3）先判断出∠BDC最大时，BD⊥BC，进而利用相似三角形建立方程求解即可得出结论．

（1）∵AB⊥y轴于点A，AB=2，AO=4，OC=5，

∴A（0，4），B（2，4），C（5，0），

∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，

∴，

∴，

∴抛物线解析式为y=-x2-x+4；

（2）如图，

过点B作BG⊥OC于G，交CD于H，

∴点H，G的横坐标为2，

∵EF⊥OC，

∴EF∥BH，

∵△DEF是等腰三角形，

∴△BDH是等腰三角形，

设D（0，5m）（0≤m≤），

∵C（5，0），

∴直线CD的解析式为y=﹣mx+5m，

∴H（2，3m），

∴BH=4﹣3m，

∴BH2=9m2﹣24m+16，DH2=4+（5m﹣3m）2=4+4m2，BD2=4+（5m﹣4）2=25m2﹣40m+20，

当BD=DH时，25m2﹣40m+20=4+4m2，

∴m=（舍）或m=，

∴5m=，

∴D（0，），

当BD=BH时，25m2﹣40m+20=9m2﹣24m+16，

∴m=，

∴D（0，），

当BH=DH时，9m2﹣24m+16=4+4m2，

∴m=或m=（舍去），

∴D（0，12﹣2），

即：当△DEF为等腰三角形时，点D的坐标为（0，）或（0，）或（0，12﹣2）；

（3）如图1，

过点B作BG⊥OC于G，交CD于H，

∴四边形OABG是矩形，点H，G的横坐标为2，

∴∠OAB=∠ABG=90°，

∴OG=2，

∵OC=5，

∴CG=3，

∵B（2，4），

∴BG=4，

过点B作BQ⊥CD，

∴∠BQD=90°，

∴要∠BDC最大，

∴∠DBQ最小，

即：BD⊥BC时，∠DBQ最小，

∴∠DBC=90°=∠ABG，

∴∠ABD=∠CBG，

∵∠BGC=∠BAD=90°，

∴△ABD∽△GBC，

∴，

∴，

∴AD=，

∴OD﹣OA﹣AD=．