Question

【题目】如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，⊙B与AB、BC交于E、F，点P是弧EF上的一个动点，连接PC，线段PC绕P点逆时针旋转90°到PD，连接CD，AD．

（1）求证：△BPC∽△ADC；

（2）当四边形ABCD满足AD∥CB且是面积为12时，求⊙B的半径；

（3）若⊙B的半径的为2，当点P沿弧EF从点E运动至点PC与⊙B相切时，求点D的运动路径的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）（3）

【解析】

试题分析：（1）由等腰直角三角形的性质可知：BC：AC=PC：DC，∠PCD=∠ACB，从而可证明∠BCP=∠ACD，最后依据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似进行证明即可；

（2）如图1所示：先求得△ABC的面积，然后可得到△ADC的面积，依据三角形的面积公式可得到AD的长，然后依据相似三角形对应边长比例可求得PB的长；

（3）如图2所示：由相似三角形的性质可知：AD=2，于是可得到点D在以A为圆心，以2为半径的圆上，然后根据点P在圆B的运动路线和确定点D经过的路径（弧）所对的圆心角，最后依据弧长公式求解即可．

试题解析：（1）∵∠ABC=90°，AB=BC，

∴∠ACB=45°，BC：AC=1：．

∵PD=PC，∠DPC=90°，

∴∠PCD=45°，PC：DC=1：．

∴BC：AC=PC：DC，∠PCD=∠ACB．

∴∠PCD﹣∠PCA=∠ACB﹣∠PCA，即∠BCP=∠ACD．

∴△BPC∽△ADC．

（2）如图1所示：

∵AB=BC=4，∠ABC=90°，

∴S△ABC=ABBC=×4×4=8，

∵四边形ABCD的面积为12，

∴S△ADC=4．

∵AD∥BC，

∴S△ADC=ADAB=4，即×4×AD=4．

∴AD=2．

∵△BPC∽△ADC，

∴，

即．

解得BP=．

∴⊙B的半径为．

（3）如图2所示：

∵BP=2，由（2）可知AD：BP=：1，

∴AD=2．

∴D在以A为圆心，以2为半径的圆上．

∵△BPC∽△ADC，

∴∠PBC=∠DAC．

∵当点P与点E重合时，∠PBC=90°．

∴∠DAC=90°．

当点P′C与圆B相切时，∠BP′C=90°，BP′=2，BC=4，

∴∠P′BC=60°．

span>∴∠D′AC=60°．

∴∠D′AD=90°﹣60°=30°．

∴点D运动的路线长==．