Question

【题目】在锐角△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，E为AC中点．

（1）如图1，过点C作CF⊥AB于F点，连接EF．若∠BAD=20°，求∠AFE的度数；

（2）若M为线段BD上的动点（点M与点D不重合），过点C作CN⊥AM于N点，射线EN，AB交于P点．

①依题意将图2补全；

②小宇通过观察、实验，提出猜想：在点M运动的过程中，始终有∠APE=2∠MAD．

小宇把这个猜想与同学们进行讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：连接DE，要证∠APE=2∠MAD，只需证∠PED=2∠MAD．

想法2：设∠MAD=α，∠DAC=β，只需用α，β表示出∠PEC，通过角度计算得∠APE=2α．

想法3：在NE上取点Q，使∠NAQ=2∠MAD，要证∠APE=2∠MAD，只需证△NAQ∽△APQ．……

请你参考上面的想法，帮助小宇证明∠APE =2∠MAD．（一种方法即可）

Answer 1

【答案】（1）证明见解析;（2）① 补图见解析;②证明见解析.

【解析】（1）证明：∵AB=AC，AD为BC边上的高，∠BAD=20°，

∴∠BAC=2∠BAD=40°．　

∵CF⊥AB， ∴∠AFC=90°．

∵E为AC中点，

∴EF=EA= ．

∴∠AFE=∠BAC=40°．

（2）①

画出一种即可．　

②证明：

想法1：连接DE．

∵AB=AC，AD为BC边上的高，

∴D为BC中点．

∵E为AC中点，

∴ED∥AB，

∴∠1=∠APE．

∵∠ADC=90°，E为AC中点，

∴．

同理可证．

∴AE=NE=CE=DE．

∴A，N，D，C在以点E为圆心，AC为直径的圆上．

∴∠1=2∠MAD．

∴∠APE=2∠MAD．