Question

【题目】半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l相切于点F，DC在l上．

（1）过点B作的一条切线BE，E为切点．

①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是 ；

②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；

（1）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC.与OF重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围.

Answer 1

【答案】（1）①30°；②OA=-1；（2）≤S扇形MON≤π．

【解析】

试题分析：①根据切线的性质以及直角三角形的性质得出∠EBA的度数即可；②利用切线的性质以及矩形的性质和相似三角形的判定和性质得出,进而求出OA即可；

（2）设∠MON=n°，得出S扇形MON=n,进而利用函数增减性分析①当N，M，A分别与D，B，O重合时，MN最大，②当MN=DC=2时，MN最小，分别求出即可．

试题解析：（1）①∵半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，当点A在⊙O上时，过点B作的一条切线BE，E为切点，∴OB=4，EO=2，∠OEB=90°，∴∠EBA的度数是：30°；

②如图2，∵直线l与⊙O相切于点F，∴∠OFD=90°，∵正方形ADCB中，∠ADC=90°，

∴OF∥AD，∵OF=AD=2，∴四边形OFDA为平行四边形，∵∠OFD=90°，∴平行四边形OFDA为矩形，∴DA⊥AO，∵正方形ABCD中，DA⊥AB，∴O，A，B三点在同一条直线上；∴EA⊥OB，∵∠OEB=∠OAE，

∴△EOA∽△BOE，∴，∴OE2=OAOB，解得：OA=-1±，∵OA＞0，∴OA=-1；

（2）如图3，设∠MON=n°，

S扇形MON=（cm2）， S随n的增大而增大，∠MON取最大值时，S扇形MON最大，当∠MON取最小值时，S扇形MON最小，过O点作OK⊥MN于K，∴∠MON=2∠NOK，MN=2NK，

在Rt△ONK中，sin∠NOK=，∴∠NOK随NK的增大而增大，∴∠MON随MN的增大而增大，

∴当MN最大时∠MON最大，当MN最小时∠MON最小，

①当N，M，A分别与D，B，O重合时，MN最大，MN=BD，∠MON=∠BOD=90°，S扇形MON最大=π（cm2），

②当MN=DC=2时，MN最小，∴ON=MN=OM，∴∠NOM=60°，S扇形MON最小=（cm2）， ∴≤S扇形MON≤π．