Question

【题目】操作与证明：

如图1，已知P是矩形ABCD的边BC上的一个点（P与B、C两点不重合），过点P作射线PE⊥AP，在射线PE上截取线段PF，使得PF=AP．

（1）过点F作FG⊥BC交射线BC点G．（尺规作图，保留痕迹，不写作法）

（2）求证：FG=BP．

探究与计算：

（3）如图2，若AB=BC，连接CF，求∠FCG的度数；

（4）在（3）的条件下，当=时，求sin∠CFP的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠FCG=45°；（4）．

【解析】

试题分析：（1）利用作一个角等于已知角的方法，即可作出所求直线；

（2）易求得∠BAP=∠GPF，∠ABP=∠PGF=90°，又由AP=PF，即可证得△ABP≌△PGF，继而证得结论；

（3）首先证得FG=CG，即可得△FCG是等腰直角三角形，继而求得答案；

（4）首先作CH⊥PF于H，易证得△PHC∽△PGF，由相似三角形的对应边成比例，可得，然后设BP=3a，则PC=a，PG=4a，FG=CG=3a，分别求得FC，HC，继而求得答案．

（1）解：如图1所示：

（2）证明：∵PE⊥AP，

∴∠APE=90°．

∴∠APB+∠GPF=90°，

又∵∠APB+∠BAP=90°，

∴∠BAP=∠GPF，

又∵FG⊥BC，

∴∠ABP=∠PGF=90°，

在△ABP与△PGF中，

，

∴△ABP≌△PGF（AAS）．

∴FG=BP；

（3）解：由（2）知AB=PG，

∵AB=BC，

∴BC=PG．

∴BC﹣PC=PG﹣PC．

∴BP=CG，

又∵FG=BP，

∴FG=CG．

又∵∠CGF=90°，

∴∠FCG=45°；

（4）解：如图2，作CH⊥PF于H，

∵∠HPC=∠GPF，∠CHP=∠FGP=90°，

∴△PHC∽△PGF．

∴，

根据，

设BP=3a，则PC=a，PG=4a，FG=CG=3a，

∴PF==5a，CF==3a，

∴．

∴HC=a，

∴sin∠CFP==．