Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝AD，E是AC的中点．

（1）求证：∠EBD＝∠EDB

（2）若∠BED＝120°，试判断△BDC的形状．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）△BDC为等边三角形.

【解析】

（1）根据直角三角形的性质得到BE＝DE＝EC＝AC，即可得出结论；

（2）首先证明AE垂直平分BD，得到BC＝DC，然后根据等腰三角形的性质可得∠AEB＝∠BED＝60°，进而可得∠EBC＝30°，∠DBE＝30°，求出∠DBC＝60°即可得到△DBC为等边三角形．

证明：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，

∵E是AC的中点，

∴BE＝EC＝AC，

同理可得：DE＝EC＝AC，

∴BE＝DE，

∴∠EBD＝∠EDB；

（2）△DBC为等边三角形，

∵BE＝DE，

∴点E在BD的中垂线上，

∵AB＝AD，

∴点A在BD的中垂线上，

∴AE垂直平分BD，

∴BC＝DC，

在△DEB中，DE＝BE，

∵AE⊥BD，

∴∠AEB＝∠BED＝60°，

∵BE＝EC，

∴∠EBC＝∠ECB＝30°，

∵∠DBE＝90°﹣∠AEB＝30°，

∴∠DBC＝60°，

∴△DBC为等边三角形．