Question

【题目】如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N．

（1）求证：△ODM∽△MCN；
（2）设DM=x，求OA的长（用含x的代数式表示）；
（3）在点O的运动过程中，设△CMN的周长为P，试用含x的代数式表示P，你能发现怎样的结论？

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵MN切⊙O于点M，

∴∠OMN=90°；

∵∠OMD+∠CMN=90°，∠CMN+∠CNM=90°；

∴∠OMD=∠MNC；

又∵∠D=∠C=90°；

∴△ODM∽△MCN

（2）解：在Rt△ODM中，DM=x，设OA=OM=R；

∴OD=AD﹣OA=8﹣R，

由勾股定理得：（8﹣R）2+x2=R2，

∴64﹣16R+R2+x2=R2，

∴

（3）解法一：∵CM=CD﹣DM=8﹣x，

又∵ ，

且有△ODM∽△MCN，

∴ ，

∴代入得到 ；

同理 ，

∴代入得到 ；

∴△CMN的周长为P= =（8﹣x）+（x+8）=16．

发现：在点O的运动过程中，△CMN的周长P始终为16，是一个定值．

解法二：在Rt△ODM中， ，

设△ODM的周长P′= ；

而△MCN∽△ODM，且相似比 ；

∵ ，

∴△MCN的周长为P= ．

发现：在点O的运动过程中，△CMN的周长P始终为16，是一个定值．

【解析】（1）由“两角法”易证相似；（2）由勾股定理构建方程（8﹣R）2+x2=R2，解方程可表示出OA；（3）△CMN的周长为P= C M + C N + M N，分别用x的代数式表示CM、CN、MN，相加得出是定值16.
【考点精析】认真审题，首先需要了解相似三角形的判定与性质(相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方)．