Question

【题目】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、AB上的点，且CE=BF，连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．

（1）请判断：FG与CE的数量关系和位置关系；（不要求证明）
（2）如图2，若点E、F分别是CB、BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请出判断判断予以证明；

（3）如图3，若点E、F分别是BC、AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．

Answer 1

【答案】
（1）解：结论：FG=CE，FG∥CE．

理由：如图1中，设DE与CF交于点M．

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，

在△CBF和△DCE中，

，

∴△CBF≌△DCE，

∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，

∵∠BCF+∠DCM=90°，

∴∠CDE+∠DCM=90°，

∴∠CMD=90°，

∴CF⊥DE，

∵GE⊥DE，

∴EG∥CF，

∵EG=DE，CF=DE，

∴EG=CF，

∴四边形EGFC是平行四边形．

∴GF=EC，

∴GF=EC，GF∥EC．

（2）解：结论仍然成立．

理由：如图2中，设DE与CF交于点M．

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，

在△CBF和△DCE中，

，

∴△CBF≌△DCE，

∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，

∵∠BCF+∠DCM=90°，

∴∠CDE+∠DCM=90°，

∴∠CMD=90°，

∴CF⊥DE，

∵GE⊥DE，

∴EG∥CF，

∵EG=DE，CF=DE，

∴EG=CF，

∴四边形EGFC是平行四边形．

∴GF=EC，

∴GF=EC，GF∥EC．

（3）解：结论仍然成立．

理由：如图3中，设DE与FC的延长线交于点M．

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，

∴∠CBF=∠DCE=90°

在△CBF和△DCE中，

，

∴△CBF≌△DCE，

∴∠BCF=∠CDE，CF=DE

∵∠BCF+∠DCM=90°，

∴∠CDE+∠DCM=90°，

∴∠CMD=90°，

∴CF⊥DE，

∵GE⊥DE，

∴EG∥CF，

∵EG=DE，CF=DE，

∴EG=CF，

∴四边形EGFC是平行四边形．

∴GF=EC，

∴GF=EC，GF∥EC．

【解析】（1）结论：FG=CE，FG∥CE．如图1中，设DE与CF交于点M，首先证明△CBF≌△DCE，推出DE⊥CF，再证明四边形EGFC是平行四边形即可．（2）结论仍然成立．如图2中，设DE与CF交于点M，首先证明△CBF≌△DCE，推出DE⊥CF，再证明四边形EGFC是平行四边形即可．（3）结论仍然成立．如图3中，设DE与FC的延长线交于点M，证明方法类似．