Question

【题目】如图，点 D 是等腰直角 △ABC 腰 BC 上的中点，点B 、B′ 关于 AD 对称，且 BB′ 交AD 于 F，交 AC 于 E，连接 FC 、 AB′，下列说法：① ∠BAD=30°； ② ∠BFC=135°；③ AF=2B′ C；正确的个数是（）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】B

【解析】

依据点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，可得tan∠BAD=，即可得到∠BAD≠30°；连接B'D，即可得到∠BB'C=∠BB'D+∠DB'C=90°，进而得出△ABF≌△BCB'，判定△FCB'是等腰直角三角形，即可得到∠CFB'=45°，即∠BFC=135°；由△ABF≌△BCB'，可得AF=BB'=2BF=2B'C；依据△AEF与△CEB'不全等，即可得到S△AFE≠S△FCE．

∵点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，

∴BD=BC=AB，

∴tan∠BAD=，

∴∠BAD≠30°，故①错误；

如图，连接B'D，

∵B、B′关于AD对称，

∴AD垂直平分BB'，

∴∠AFB=90°，BD=B'D=CD，

∴∠DBB'=∠BB'D，∠DCB'=∠DB'C，

∴∠BB'C=∠BB'D+∠DB'C=90°，

∴∠AFB=∠BB'C，

又∵∠BAF+∠ABF=90°=∠CBB'+∠ABF，

∴∠BAF=∠CBB'，

∴△ABF≌△BCB'，

∴BF=CB'=B'F，

∴△FCB'是等腰直角三角形，

∴∠CFB'=45°，即∠BFC=135°，故②正确；

由△ABF≌△BCB'，可得AF=BB'=2BF=2B'C，故③正确；

∵AF＞BF=B'C，

∴△AEF与△CEB'不全等，

∴AE≠CE，

∴S△AFE≠S△FCE，故④错误；

故选B．