Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且∠A=∠EDF=60°，有下列结论：①AE=BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE=∠BEF，其中结论正确的个数是（ ）
A.3
B.4
C.1
D.2

Answer 1

【答案】A
【解析】解：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=AB，∠ADB= ∠ADC，AB∥CD，

∵∠A=60°，

∴∠ADC=120°，∠ADB=60°，

同理：∠DBF=60°，

即∠A=∠DBF，

∴△ABD是等边三角形，

∴AD=BD，

∵∠ADE+∠BDE=60°，∠BDE+∠BDF=∠EDF=60°，

∴∠ADE=∠BDF，

∵在△ADE和△BDF中，

，

∴△ADE≌△BDF（ASA），

∴DE=DF，AE=BF，故①正确；

∵∠EDF=60°，

∴△EDF是等边三角形，

∴②正确；

∴∠DEF=60°，

∴∠AED+∠BEF=120°，

∵∠AED+∠ADE=180°﹣∠A=120°，

∴∠ADE=∠BEF；

故④正确．

∵△ADE≌△BDF，

∴AE=BF，

同理：BE=CF，

但BE不一定等于BF．

故③错误．

综上所述，结论正确的是①②④．

故选：A．

【考点精析】利用等腰三角形的判定和菱形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等；菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半．