Question

【题目】如图，已知O为直线AB上的一点，CD⊥AB于点O，PO⊥OE于点O，OM平分∠COE，点F在OE的反向延长线上．

(1)当OP在∠BOC内，OE在∠BOD内时，如图①所示，直接写出∠POM和∠COF之间的数量关系；

(2)当OP在∠AOC内且OE在∠BOC内时，如图②所示，试问(1)中∠POM和∠COF之间的数量关系是否发生变化？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠POM＝∠COF，理由见解析；（2）∠POM＝∠COF，理由见解析

【解析】

（1）利用垂直的定义，CD⊥AB，PO⊥EO，等量代换得∠COP=∠BOE，利用角平分线的性质，得∠POM=∠POB=(90°-∠POC)，∠COF=90°-∠COP，得出结论；
（2）利用垂直的定义，同角的余角相等可得∠COP＝∠AOF，可推出∠COP＋∠COB＝∠AOF＋∠AOC，即∠BOP＝∠COF，由对顶角相等得∠AOF＝∠BOE＝∠COP，利用角平分线的性质，得∠COP＋∠COM＝∠BOE＋∠MOE，即∠POM＝∠BOP，等量代换得出结论．

解：(1)∠POM＝∠COF.

证明：∵CD⊥AB，

∴∠COP+∠BOP=90°，

∵OP⊥OE，

∴∠BOE+∠BOP=90°，

∴∠COP=∠BOE，

∵OM平分∠COE，

∴∠POM=∠MOB=∠POB= (90°∠POC)，

∵∠COF=90°∠COP，

∴∠POM=∠COF；

(2)不发生变化．理由：∵CD⊥AB于点O，

∴∠AOP＋∠COP＝90°.

∵PO⊥OE于点O，

∴∠AOP＋∠AOF＝90°，

∴∠COP＝∠AOF.

又∵∠AOC＝∠COB＝90°，

∴∠COP＋∠COB＝∠AOF＋∠AOC，

即∠BOP＝∠COF.

∵∠AOF＝∠BOE，∴∠COP＝∠BOE.

∵OM平分∠COE，∴∠COM＝∠MOE，

∴∠COP＋∠COM＝∠BOE＋∠MOE，

∴∠POM＝∠BOP，

∴∠POM＝∠COF.

故答案为：（1）∠POM＝∠COF，理由见解析；（2）∠POM＝∠COF，理由见解析.