Question

【题目】如图，矩形OABC的边OA，OC分别与坐标轴重合，并且点B的坐标为.将该矩形沿OB折叠，使得点A落在点E处，OE与BC的交点为D.

（1）求证：△OBD为等腰三角形；

（2）求点E的坐标；

（3）坐标平面内是否存在一点F，使得以点B，E，F，O为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)点E的坐标为；（3）F点坐标为，，.

【解析】

（1）根据折叠的性质，得到△OBE≌△OBA，由此得到∠EOB=∠AOB，然后根据矩形的性质和平行线的性质得到OD=BD，即△OBD是等腰三角形；

（2）过点E作轴于F交BC于G，设CD的长为，则，由（1）值OD=8-x，然后根据勾股定理求出CD、OB、BD的长，再根据AAS证得△OCD≌△BED，得到，最后根据三角形的面积求出EG的长，进而利用矩形的性质和勾股定理求出E点的坐标；

（3）根据平行四边形的判定与性质，分类讨论F点的坐标即可.

(1)∵是由折叠所得

∴≌.，

∴，

又∵四边形OABC是矩形

∴.，

∴

∴，

∴为等腰三角形；

（2）过点E作轴于F交BC于G

设CD的长为，则

由(1)知

∵四边形OABC是矩形

∴

∴在中

即

解得

即

由(1)知≌

∴

∴

∴ 在△OCD和△BED中

∴△OCD≌△BED

∴

∵轴

∴

∵

∴

∴

∴

即

∴.

∴在中

∵

∴四边形OFGC是矩形

∴

.

∴点E的坐标为；

（3） .