Question

【题目】如图，抛物线y=﹣ x2+ x+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．点P是线段BC上的动点（点P不与B，C重合），连接并延长AP交抛物线于另一点Q，设点Q的横坐标为x．

（1）①写出点A，B，C的坐标：A（），B（），C（）；
②求证：△ABC是直角三角形；
（2）记△BCQ的面积为S，求S关于x的函数表达式；
（3）在点P的运动过程中， 是否存在最大值？若存在，求出 的最大值及点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）﹣1，0；4，0；0，2
（2）

解：连接OQ，如图1所示．

设点Q的坐标为（x，﹣ x2+ x+2），

∴S=S△OCQ+S△OBQ﹣S△OBC= ×2x+ ×4（﹣ x2+ x+2）﹣ ×2×4=﹣x2+4x．

（3）

解：过点Q作QH⊥BC于H，如图2所示．

∵∠ACP=∠QHP=90°，∠APC=∠QPH，

∴△APC∽△QPH，

∴ = ．

∵S△BCQ= BCQH= OH，

∴QH= ，

∴ = = （﹣x2+4x）=﹣ （x﹣2）2+ ，

∴当x=2时， 取最大值，最大值为 ，此时点Q的坐标为（2，3）．

【解析】解：（1）①当x=0时，y=﹣ x2+ x+2=2，
∴点C（0，2）．
当y=﹣ x2+ img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2017/08/15/11/610d3a99/SYS201708151152513446683969_DA/SYS201708151152513446683969_DA.003.png" width="9" height="32" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" /> x+2=0时，有x2﹣3x﹣4=（x+1）（x﹣4）=0，
解得：x1=﹣1，x2=4，
∴A（﹣1，0），B（4，0）．
所以答案是：﹣1，0；4，0；0，2．
②证明：∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），
∴AB=5，AC= ，BC=2 ，
∴AB2=25=AC2+BC2 ，
∴△ABC是直角三角形．