Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，AB=BD．点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论： ①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG= CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF．
其中正确的结论（ ）

A.只有①②
B.只有①③
C.只有②③
D.①②③

Answer 1

【答案】D
【解析】解：①∵ABCD为菱形，∴AB=AD． ∵AB=BD，∴△ABD为等边三角形．
∴∠A=∠BDF=60°．
又∵AE=DF，AD=BD，
∴△AED≌△DFB；
②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，
即∠BGD+∠BCD=180°，
∴点B、C、D、G四点共圆，
∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°．
∴∠BGC=∠DGC=60°．
过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．

∴CM=CN，
∵ ，
∴△CBM≌△CDN，（HL）
∴S四边形BCDG=S四边形CMGN ．
S四边形CMGN=2S△CMG ，
∵∠CGM=60°，
∴GM= CG，CM= CG，
∴S四边形CMGN=2S△CMG=2× × CG× CG= CG2 ．
③过点F作FP∥AE于P点．

∵AF=2FD，
∴FP：AE=DF：DA=1：3，
∵AE=DF，AB=AD，
∴BE=2AE，
∴FP：BE=1：6=FG：BG，
即 BG=6GF．
故选D．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平行线分线段成比例的相关知识，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，以及对旋转的性质的理解，了解①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了．