Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，AB=2cm，对角线AC、BD交于点O，点E以一定的速度从A向B移动，点F以相同的速度从B向C移动，连结OE、OF、EF．则线段EF的最小值是_______cm．

Answer 1

【答案】

【解析】根据正方形的对角线互相平分且相等可得AO=BO，∠AOB=90°，对角线平分一组对角可得∠OAE=∠OBF，再根据AE=BF，然后利用“SAS”证明△AOE和△BOF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOE=∠BOF，可得∠EOF=90°，然后利用勾股定理列式计算即可得解．

解：（1）在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOB=90°，∠OAE=∠OBF=45°，

∵点E、F的速度相等，

∴AE=BF，

在△AOE和△BOF中，

OA=BO，∠AOE=∠OBF，AE=BF，

∴△AOE≌△BOF（SAS），

故答案为BOF．

（2）∵△AOE≌△BOF，

∴∠AOE=∠BOF，

∴∠AOE+∠BOE=90°，

∴∠BOF+∠BOE=90°，

∴∠EOF=90°，

在Rt△BEF中，设AE=x，则BF=x，BE=2﹣x，

EF===．

∴当x=1时，EF有最小值为；

故答案为．

“点睛”本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，熟记正方形的性质，求出三角形全等的条件是解题的关键．