Question

【题目】已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC．

（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；

（2）若点P在线段AB上．如图2，连接AC，当P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）△ACE是直角三角形，理由见解析.

【解析】分析：(1)根据四边形ABCD和四边形BPEF是正方形，证明△APE≌△CFE；(2)分别判断△ABC，△APE是等腰直角三角形得∠CAE＝90°.

详解：(1)∵四边形ABCD和四边形BPEF是正方形，

∴AB＝BC，BP＝BF，∴AP＝CF，

在△APE和△CFE中，

AP＝CF，∠P＝∠F，PE＝EF，

∴△APE≌△CFE，

∴EA＝EC；

(2)∵P为AB的中点，

∴PA＝PB，又PB＝PE，

∴PA＝PE，

∴∠PAE＝45°，又∠DAC＝45°，

∴∠CAE＝90°，即△ACE是直角三角形.