Question

【题目】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，点F、G分别是边BC、CD的中点，连接AF、FG，过点D作DE∥FG交AF于点E．

（1）求证：△AED≌△CGF；
（2）若梯形ABCD为直角梯形，∠B=90°，判断四边形DEFG是什么特殊四边形？并证明你的结论；
（3）若梯形ABCD的面积为a（平方单位），则四边形DEFG的面积为（平方单位）．（只写结果，不必说理）

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵BC=2AD，点F为BC的中点，

∴CF=AD．

又∵AD∥BC，

∴四边形AFCD是平行四边形，

∴∠DAE=∠C，AF∥DC，

∴∠AFG=∠CGF．

∵DE∥GF，

∴∠AED=∠AFG，

∴∠AED=∠CGF

∴△AED≌△CGF；

（2）解：结论：四边形DEFG是菱形．

证明如下：连接DF．

由（1）得AF∥DC，

又∵DE∥GF，

∴四边形DEFG是平行四边形．

∵AD∥BC，AD=BF= BC，

∴四边形ABFD是平行四边形，

又∵∠B=90°，

∴四边形ABFD是矩形，

∴∠DFC=90°，

∵点G是CD的中点，

∴FG=DG= CD，

∴四边形DEFG是菱形；

（3） a
【解析】（3）四边形DEFG的面积=梯形ABCD的面积﹣S△ABF﹣2S△CFG ，
∵梯形ABCD的面积为a，
∴四边形DEFG的面积为 a；
【考点精析】根据题目的已知条件，利用梯形的定义的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形．两腰相等的梯形是等腰梯形．