Question

【题目】如图，现将一张矩形ABCD的纸片一角折叠，若能使点D落在AB边上F处，折痕为CE，恰好∠AEF=60°，延长EF交CB的延长线于点G．

（1）求证：△CEG是等边三角形；
（2）若矩形的一边AD=3，求另一边AB的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC即AD∥GC，

∴∠G=∠AEF=60°，

由折叠可知：∠CED=∠CEG，而∠GED=180°﹣∠AEF=120°

∴∠GEC=∠CED= ∠GED=60°即∠G=∠GEC=60°，

∴△CEG是等边三角形；

（2）解：∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠D=90°，AB=CD，

由（1）可知∠AEF=∠CED=60°，∴∠AFE=∠DCE=30°，

∴EF=2AE，CE=2DE．设AE=x，则EF=2x，ED=EF=2x，

∴AD=x+2x=3，CE=4x，解得，x=1，DE=2，CE=4，

在Rt△CDE中，CD=

∴AB=2 ．

【解析】（1）由折叠可知∠DEC=∠FEC，已知∠AEF=60°，可知∠DEC=∠FEC=60°，由AD∥GC，可知∠G=∠AEF=60°，故有∠G=∠FEC=60°，所以△CEG是等边三角形；（2）在Rt△AEF中，∠AEF=60°，设AE=x，则EF=2x，由折叠的性质得ED=EF=2x，根据AE+ED=AD，列方程求x，在Rt△CDE中，DE=2，∠DEC=60°，可得CE=2DE=4，利用勾股定理可求CD，即AB的长．
【考点精析】解答此题的关键在于理解翻折变换（折叠问题）的相关知识，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等．