Question

【题目】如图1，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，HA=EB=FC=GD，连接EG，FH，交点为O．

（1）如图2，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；
（2）将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3cm，HA=EB=FC=GD=1cm，则图3中阴影部分的面积为cm2 ．

Answer 1

【答案】
（1）四边形EFGH是正方形．

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，

∵HA=EB=FC=GD，

∴AE=BF=CG=DH，

∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，

∴EF=FG=GH=HE，

∴四边形EFGH是菱形，

∵△DHG≌△AEH，

∴∠DHG=∠AEH，

∵∠AEH+∠AHE=90°，

∴∠DHG+∠AHE=90°，

∴∠GHE=90°，

∴四边形EFGH是正方形

（2）1
【解析】解：（2）∵HA=EB=FC=GD=1，AB=BC=CD=AD=3，

∴GF=EF=EH=GH= ，

∵由（1）知，四边形EFGH是正方形，

∴GO=OF，∠GOF=90°，

由勾股定理得：GO=OF= ，

∵S四边形FCGO= ×1×2+ × × = ，

∴S阴影= ﹣S四边形FCGO×4=10﹣9=1．

（1）抓住已知条件先证明∠A=∠B=∠C=∠D=90°，HA=EB=FC=GD，AE=BF=CG=DH，进而得出△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，证得EF=FG=GH=HE，证得四边形EFGH是菱形，再证明有一个角是直角，即可得出结论。
（2）利用勾股定理得出GF=EF=EH=GH的长，由（1）知，四边形EFGH是正方形，得到GO=OF，∠GOF=90°，进而求出OG、OF的长，就可以求出四边形FCGO的面积，即可求出阴影部分的面积。