【题目】如图，已知二次函数的图象的顶点为A．二次函数的图象与x轴交于原点O及另一点C，它的顶点B在函数的图象的对称轴上．

（1）求点A与点C的坐标；

（2）当四边形AOBC为菱形时，求函数的关系式．

参考答案：

【答案】（1）C（2，0）；（2）.

【解析】试题分析：（1）二次函数y=ax2+bx的顶点在已知二次函数抛物线的对称轴上，可知两个函数对称轴相等，因此先根据已知函数求出对称轴．根据函数解析式得出顶点A的坐标与对称轴，故可得出二次函数y=ax2+bx关于x=1对称，且函数与x轴的交点分别是原点和C点，所以点C和点O关于直线l对称，故可得出点C的坐标；

（2）因为四边形AOBC是菱形，根据菱形性质，可以得出点O和点C关于直线AB对称，点B和点A关于直线OC对称，因此，可求出点B的坐标，根据二次函数y=ax2+bx的图象经过点B（1，2），C（2，0），将B，C代入解析式得出ab的值，进而得出其解析式．

试题解析：（1）∵y=x2-2x-1=（x-1）2-2，

∴顶点A的坐标为（1，-2）．

∵二次函数y=ax2+bx的图象与x轴交于原点O及另一点C，它的顶点B在函数y=x2-2x-1的图象的对称轴上．

∴二次函数y=ax2+bx的对称轴为：直线x=1，

∴点C和点O关于直线x=1对称，

∴点C的坐标为（2，0）．

（2）因为四边形AOBC是菱形，所以点B和点A关于直线OC对称，

因此，点B的坐标为（1，2）．

因为二次函数y=ax2+bx的图象经过点B（1，2），C（2，0），

所以

解得，

所以二次函数y=ax2+bx的关系式为y=-2x2+4x．

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