Question

【题目】如图，已知, .

(1)用直尺和圆规作出一条过点的直线，使得点关于直线的对称点落在边上(不写作法，保留作图痕迹).

(2)设直线与边的交点为，且，请你通过观察或测量，猜想线段之间的数量关系，并说明理由.

Answer 1

【答案】(1)作图见解析.( 2 ) ,理由见解析.

【解析】试题分析：（1）先作∠BAC的平分线l，再过点C作CF⊥l交AB于F，则可得到点C和F点关于l对称，所以l为所作；

（2）连结DF，如图，利用等腰三角形的判定方法得到AF=AC，则AD垂直平分CF，所以DF=DC，则∠DCF=∠DFC，再利用三角形外角性质得∠BDF=2∠DCF，接着证明∠B=2∠BCF，于是得到∠B=∠BDF，则FB=FD=CD，则易得AB=AF+FB=AC+CD．

试题解析：（1）如图，直线l为所作；

（2）AB=AC+CD．理由如下：

连结DF，如图，

∵AD平分∠BAC，AD⊥CF，

∴AF=AC，

∴AD垂直平分CF，

∴DF=DC，

∴∠DCF=∠DFC，

∴∠BDF=∠DCF+∠DFC=2∠DCF，

∵∠AFC=∠ACF，

∵∠AFC=∠B+∠BCF，

∴∠ACF=∠B+∠BCF，

∵∠ACB=2∠B，

∴2∠B-∠BCF=∠B+∠BCF，

∴∠B=2∠BCF，

∴∠B=∠BDF，

∴FB=FD，

∴FB=CD，

∴AB=AF+FB=AC+CD．