Question

【题目】如图，矩形OABC的顶点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从O，B同时出发．以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP，已知动点运动了秒．

（1）当时，求PC的长；

（2）当为何值时，△NPC是以PC为腰的等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）当时， ；（2）当或时，△NPC是以PC为腰的等腰三角形.

【解析】试题分析：（1）利用平行于三角形底边所构成对应边成比例得到，代入数据求值.(2)随着M，N点的运动，当PC＝PN时, 利用矩形的性质，BC＝CN＋BN，求得x值 ;当PC＝CN时,列出对应边成比例，代入求值.

试题解析：

（1）∵ 点A（4，0），B（4，3），∴ OA＝4，AB＝3，

在矩形OABC中，BC＝OA＝4，OC＝AB＝3，∠AOC＝∠BCO＝90°，

在Rt△AOC中， ，

依题知：OM＝BN＝＝1，又PM⊥OA ，∴ PM∥OC，

∴，∴ ，∴ ，

∴ 当时， .

（2）①当PC＝PN时，△NPC是以PC为腰的等腰三角形，

延长MP交BC于点为D，

在矩形OABC中，BC∥OA ，∴ PD⊥BC ，

又∠AOC＝∠BCO＝90°，

∴ 四边形OCDM为矩形 ，∴ CD＝OM＝，

又PC＝PN，PD⊥BC ，∴ CN＝2CD＝，

∵ BC＝CN＋BN ，∴ ，∴ ，

∴ 当时，△NPC是以PC为腰的等腰三角形.

② 当PC＝CN时，△NPC是以PC为腰的等腰三角形，

由上面知：CN＝BC－BN＝＝PC， ∵ PM∥OC ，

∴， ∴， ∴，

∴ 当时，△NPC是以PC为腰的等腰三角形；

综上所述，当或时，△NPC是以PC为腰的等腰三角形.