Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0），交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴，垂足为H，过点C作CF⊥l于F，连接DF，CE交于点G．

（1）求抛物线解析式；

（2）求线段DF的长；

（3）当DG=时，

①求tan∠CGD的值；

②试探究在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使∠EDP=45°？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线解析式为：y=﹣x2+x+3；（2）DF==3；（3）①tan∠CGD=3；

②P点坐标为（，）．

【解析】

试题分析：（1）把A点和B点坐标代入y=ax2+bx+3中得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可得到抛物线解析式；

（2）如图1，先求出C点坐标，再根据旋转的性质得到CD=DE，∠CDE=90°，再证明△OCD≌△HDE得到HD=OC=3，接着说明四边形OCFH为矩形得到HF=OC=3，然后利用勾股定理计算DF；

（3）①利用△CDE和△DFH都是等腰直角三角形得到∠DCE=45°，∠DFH=45°，于是有∠DFC=45°，则可证明△DCG∽△DFC，根据相似的性质得=，∠DGC=∠DCF，接着利用相似比可计算出CD=，利用∠DCF=∠2得到∠CGD=∠2，然后在Rt△OCD中求出∠2的正切值即可得到tan∠CGD的值；

②根据△DCG∽△DFC得到HD=OC=3，EH=OD=1，则E（4，1），取CE的中点M，如图2，利用线段的中点坐标公式得到M（2，2），根据等腰直角三角形的性质判断DP经过CE的中点M，接下来利用待定系数法求出直线DP的解析式为y=2x﹣2，然后解方程组可得P点坐标．

试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0），

∴，解得，∴抛物线解析式为：y=﹣x2+x+3；

（2）当x=0时，y=﹣x2+x+3=3，则C（0，3），如图1，

∵CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，

∴CD=DE，∠CDE=90°，

∵∠2+∠3=90°，

而∠1+∠2=90°，

∴∠1=∠3，

在△OCD和△HDE中

，

∴△OCD≌△HDE，

∴HD=OC=3，

∵CF⊥BF，

∴四边形OCFH为矩形，

∴HF=OC=3，

∴DF==3；

（3）①∵△CDE和△DFH都是等腰直角三角形，如图1，

∴∠DCE=45°，∠DFH=45°，

∴∠DFC=45°，

而∠CDG=∠FDC，

∴△DCG∽△DFC，

∴，∠DGC=∠DCF，即，解得CD=，

∵CF∥OH，

∴∠DCF=∠2，

∴∠CGD=∠2，

在Rt△OCD中，OD===1，

∴tan∠2==3，

∴tan∠CGD=3；

②∵OD=1，

∴D（1，0），

∵△OCD≌△HDE，

∴HD=OC=3，EH=OD=1，

∴E（4，1），

取CE的中点M，如图2，则M（2，2），

∵△DCE为等腰直角三角形，∠EDP=45°，

∴DP经过CE的中点M，

设直线DP的解析式为y=mx+n，

把D（1，0），M（2，2）代入得，解得，

∴直线DP的解析式为y=2x﹣2，

解方程组得或（舍去），

∴②P点坐标为（，）．