Question

【题目】在平面直角坐标系中，O是坐标原点，ABCD的顶点A的坐标为（﹣2，0），点D的坐标为（0，2 ），点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点．

（1）如图1，求∠DAO的大小及线段DE的长；
（2）过点E的直线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G．连接OE，△OEF′是△OEF关于直线OE对称的图形，记直线EF′与射线DC的交点为H，△EHC的面积为3 ．
①如图2，当点G在点H的左侧时，求GH，DG的长；
②当点G在点H的右侧时，求点F的坐标（直接写出结果即可）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A（﹣2，0），D（0，2 ）

∴AO=2，DO=2 ，

∴tan∠DAO= = ，

∴∠DAO=60°，

∴∠ADO=30°，

∴AD=2AO=4，

∵点E为线段AD中点，

∴DE=2；

（2）解：①如图2，

过点E作EM⊥CD，

∴CD∥AB，

∴∠EDM=∠DAB=60°，

∴EM=DEsin60°= ，

∴GH=6，

∵CD∥AB，

∴∠DGE=∠OFE，

∵△OEF′是△OEF关于直线OE的对称图形，

∴△OEF′≌△OEF，

∴∠OFE=∠OF′E，

∵点E是AD的中点，

∴OE= AD=AE，

∵∠EAO=60°，

∴△EAO是等边三角形，

∴∠EOA=60°，∠AEO=60°，

∵△OEF′≌△OEF，

∴∠EOF′=∠EOA=60°，

∴∠EOF′=∠AEO，

∴AD∥OF′，

∴∠OF′E=∠DEH，

∴∠DEH=∠DGE，

∵∠DEH=∠EDG，

∴△DHE∽△DEG，

∴ ，

∴DE2=DG×DH，

设DG=x，则DH=x+6，

∴4=x（x+6），

∴x1=﹣3+ ，x2=﹣3﹣ ，

∴DG=﹣3+ ．

②如图3，

过点E作EM⊥CD，

∴CD∥AB，

∴∠EDM=∠DAB=60°，

∴EM=DEsin60°= ，

∴GH=6，

∵CD∥AB，

∴∠DHE=∠OFE，

∵△OEF′是△OEF关于直线OE的对称图形，

∴△OEF′≌△OEF，

∴∠OFE=∠OF′E，

∵点E是AD的中点，

∴OE= AD=AE，

∵∠EAO=60°，

∴△EAO是等边三角形，

∴∠EOA=60°，∠AEO=60°，

∵△OEF′≌△OEF，

∴∠EOF′=∠EOA=60°，

∴∠EOF′=∠AEO，

∴AD∥OF′，

∴∠OF′E=∠DEH，

∴∠DEG=∠DHE，

∵∠DEG=∠EDH，

∴△DGE∽△DEH，

∴ ，

∴DE2=DG×DH，

设DH=x，则DG=x+6，

∴4=x（x+6），

∴x1=﹣3+ ，x2=﹣3﹣ ，

∴DH=﹣3+ ．

∴DG=3+

∴DG=AF=3+ ，

∴OF=5+ ，

∴F（﹣5﹣ ，0）．

【解析】（1）根据点A的坐，点D的坐标，在Rt△AOD中，利用解直角三角形易求出结论。
（2）①由（1）可知∠DAO=60°，添加辅助线，过点E作EM⊥CD，利用解直角三角形可求出EM、GH的长，根据已知易证明△OEF′≌△OEF，可得出角相等，点E是AD的中点，易得到△EAO是等边三角形，再证明△DHE∽△DEG，得出对应边成比例，设DG=x，则DH=x+6，建立方程，求出方程的解即可；②要求点F的坐标，就需求OF的长，解法与①类似求出DG，DG=AF，即可求出OF的长，从而求出点F的坐标。
【考点精析】认真审题，首先需要了解平行四边形的性质(平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分)，还要掌握相似三角形的判定与性质(相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方)的相关知识才是答题的关键．