Question

【题目】如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．

求证：（1）ED=EC；

（2）∠ECD=∠EDC；

（3）射线OE与CD有什么关系？（直接写出结果）

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）OE是线段CD的垂直平分线.

【解析】分析：（1）由E为∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，根据角平分线的性质，可证得ED=EC，∠OED=∠OEC，继而可证得EC=ED；（2）根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得EC=DE，再根据等边对等角证明即可；(3) 利用“HL”证明Rt△OCE和Rt△ODE全等，根据全等三角形对应边相等可得OC=OD，然后根据等腰三角形三线合一证明．

证明：（1）∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，

∴∠DOE=∠COE，∠ODE=∠OCE=90°，OE=OE，∴△OED≌△OEC（AAS），∴EC=ED；

（2）∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，∴ED=EC，即△CDE为等腰三角形，

∴∠ECD=∠EDC；

（3）∵OC=OD，且DE=EC，∴OE是线段CD的垂直平分线．