Question

【题目】阅读理解：在以后你的学习中，我们会学习一个定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若点D是斜边AB的中点，则CD=AB.

灵活应用：如图2，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3， AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连接BE， CE.

（1）求AD的长；

（2）判断△BCE的形状；

（3）求CE的长.

Answer 1

【答案】（1）AD=；（2）见解析；（3）CE=

【解析】

（1）依据勾股定理进行计算即可得到BC的长，再根据直角三角形斜边上中线的性质即可得到结论；
（2）依据CD=DE=DB，可得∠DEC=∠DCE，∠DEB=∠DBE，再根据三角形内角和定理，即可得出∠DEB+∠DEC=90°，进而得到△BCE是直角三角形；
（3）利用BCAH=ABAC，可得AH=，依据AD垂直平分线段BE，可得ADBO=BDAH，即可得出OB=，BE=2OB=，最后在Rt△BCE中，运用勾股定理可得EC= ．

（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
由勾股定理得，BC==5，
∵点D是BC的中点，BCRt△ABC的斜边，
∴AD=BC=；
（2）△BCE为直角三角形．理由：
∵D是BC的中点
∴CD=BD
∵将△ABD沿AD翻折得到△AED，
∴DE=DB，
∴CD=DE=DB，
∴∠DEC=∠DCE，∠DEB=∠DBE，
∵∠DEC+∠DCE+∠DEB+∠DBE=180°，
∴∠DEB+∠DEC=90°，
∴∠BEC=90°，

∴△BCE是直角三角形；
（3）如图，连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．
由题可得AD=DC=DB=，
∵BCAH=ABAC，
∴AH=，
∵AE=AB，DE=DB，
∴点A在BE的垂直平分线上，点D在BE的垂直平分线上，
∴AD垂直平分线段BE，
∵ADBO=BDAH，
∴OB=，
∴BE=2OB=，
在Rt△BCE中，EC= ．